Найти все значения а, при которых один корень уравнения 2ах^2 - 2x - 3a - 2 = 0 больше 1, а другой меньше 1.

Во-первых, a =/= 0, потому что если a = 0, то 
-2x - 2 = 0; x = -1 - всего 1 корень.
Решаем квадратное уравнение
2ax^2 - 2x - 3a - 2 = 0
D/4 = 1^2 - 2a(-3a - 2) = 1 + 6a^2 + 4a = 6a^2 + 4a + 1 > 0
Решаем это неравенство
D/4 = 2^2 - 6*1 = 4 - 6 { x1 = (1 - √(6a^2 + 4a + 1)) / (2a) { x2 = (1 + √(6a^2 + 4a + 1)) / (2a) > 1
Решаем эту систему
{ (1 - √(6a^2 + 4a + 1) - 2a) / (2a) { (1 + √(6a^2 + 4a + 1) - 2a) / (2a) > 0 
1) Если a { 1 - 2a - √(6a^2 + 4a + 1) > 0
{ 1 - 2a +√(6a^2 + 4a + 1) Решений нет, потому что  1 - 2a +√(6a^2 + 4a + 1) >  1 - 2a -√(6a^2 + 4a + 1)
при любом а.
2) Если a > 0, то
{ 1 - 2a - √(6a^2 + 4a + 1) { 1 - 2a +√(6a^2 + 4a + 1) > 0
Отделяем корень
{√(6a^2 + 4a + 1) > 1 - 2a
{√(6a^2 + 4a + 1) > 2a - 1
При возведении в квадрат получается 2 одинаковых неравенства
6a^2 + 4a + 1 > 4a^2 - 4a + 1
2a^2 + 8a > 0
2a(a + 4) > 0
a  0
Но у нас условие: a > 0, поэтому 
Ответ: при любом a > 0