Алгебра, опубликовано 2018-08-22 23:21:06 by Гость

Решите уравнение: -5sin 2x - 16(sinx-cosx) + 8 = 0

Ответ оставил Гость

$-5/sin2x-16(/sin x-/cos x)+8=0$

$-5/cdot 2/sin x/cos x-16(/sin x-/cos x)+8(/sin^2x+/cos^2x)=0 // -10/sin x/cos x-16(/sin x-/cos x)+8/sin ^2x+8/cos^2x=0 // 6/sin x/cos x-16(/sin x-/cos x)+8/sin^2x-16/sin x/cos x+8/cos^2x=0 // 6/sin x/cos x-16(/sin x-/cos x)+8(/sin^2x-2/sin x/cos x+/cos^2x)=0 // 6/sin x/cos x-16(/sin x-/cos x)+8(/sin x-/cos x)^2$
Пусть $/sin x-/cos x=t$ (|t|≤√2). Левую и праву часть выражения возведем до квадрата: $(/sin x-/cos x)^2=t^2 // /sin^2x-2/sin x/cos x+/cos^2x=t^2 // 1-2/sin x/cos x=t^2 // 2/sin x/cos x=1-t^2$
Заменяем
$3(1-t^2)-16t+8t^2=0 // 3-3t^2-16t+8t^2=0 // 5t^2-16t+3=0$
Решаем через дискриминант
$D=b^2-4ac=256-60=196$
$t_1= /frac{16+14}{10} =3$ - не удовлетворяет условие при |t|≤√2
$t_2= /frac{16-14}{10} = /frac{1}{5}$
Возвращаемся к замене
$/sin x-/cos x=/frac{1}{5}$

Есть одно возможность:
$a /sin x/pm b/cos x= /sqrt{a^2+b^2}/sin (x/pm /arcsin /frac{b}{ /sqrt{a^2+b^2} } )$
Тоесть: $/sin x-/cos x= /sqrt{2} /sin (x- /frac{/pi}{4} ) =/frac{1}{5}// /sin (x- /frac{/pi}{4} )= /frac{ /sqrt{2} }{5} // x- /frac{/pi}{4} =(-1)^k/cdot /arcsin /frac{ /sqrt{2} }{5} + /pi k,k /in Z // x=(-1)^k/cdot /arcsin /frac{ /sqrt{2} }{5}+ /frac{/pi}{4} + /pi k,k /in Z$

Ответ: $(-1)^k/cdot /arcsin /frac{ /sqrt{2} }{5}+ /frac{/pi}{4} + /pi k$

Не нашли ответа?

Если вы не нашли ответа на свой вопрос, или сомневаетесь в его правильности, то можете воспользоваться формой ниже и уточнить решение. Или воспользуйтесь формой поиска и найдите похожие ответы по предмету Алгебра.