Алгебра, опубликовано 2018-08-22 22:55:21 by Гость

Найдите хотя бы одно число, произведение всех натуральных делителей которого равна 10^90

Ответ оставил Гость

Пусть N - наше число и $d_1,/ldots,d_k$ - все его натуральные делители. Тогда $N/d_1,/ldots,N/d_k$ - те же делители, только записанные в обратном порядке. Если их все перемножим, то получим $(d_1/cdot/ldots/cdot d_k)^2=N^k$ . Значит, согласно условию, $N^k=10^{180}$ . Будем искать N в виде $N=10^r$ . Тогда его делители имеют вид $2^l5^m$ , где $0/le l,m/le r$ , т.е. количество делителей $k=(r+1)^2$ штук. Таким образом, получается уравнение $10^{r(r+1)^2}=10^{180}$ . Отсюда $r(r+1)^2=180.$ Легко проверить, что r=5, является его корнем. Итак, ответ: $N=10^5.$

Не нашли ответа?

Если вы не нашли ответа на свой вопрос, или сомневаетесь в его правильности, то можете воспользоваться формой ниже и уточнить решение. Или воспользуйтесь формой поиска и найдите похожие ответы по предмету Алгебра.