Алгебра, опубликовано 2018-08-22 23:55:08 by Гость

Найти размеры цилиндрического бака без крышки, на изготовление которого, при заданном объеме V, пойдет наименьшее количество материала

Ответ оставил Гость

Наименьшее количество материала потребуется на цилиндрический бак меньшей площади. Площадь нашего бака - это площадь боковой поверхности цилиндра плюс площадь основания, то есть
$S=2/pi Rh+/pi R^2$
Задача сводится к поиску минимума функции S, описывающей эту площадь. Для этого нужно перейти от функции двух переменных к функции одной переменной.
Размеры цилиндра зависят от двух величин - его высоты и радиуса основания. Выразим высоту цилиндра через известный нам объём и радиус из формулы объёма цилиндра:
$V=/pi R^2h/Rightarrow h=/frac{V}{/pi R^2}$
Тогда
$S(R)=2{/pi}{R}/frac{V}{/pi R^2}+/pi R^2=/frac{2V}R+/pi R^2$
Для того, чтобы найти минимум функции нужно найти её производную и те точки, в которых она равна нулю.
$S(R)=-/frac{2V}{R^2}+2/pi R//2/pi R-/frac{2V}{R^2}=0///frac{2/pi R^2-2V}{R^2}=0//R/neq0//2/pi R^3-2V=0//R=/sqrt[3]{/frac{V}{/pi}}$
Осталось подставить в это выражение значение объёма V, вычислить радиус и убедиться в том, что это точка минимума - при прохождении через эту точку производная должна менять знак с минуса на плюс. Тут так и происходит. Найдём высоту цилиндра
$h=/frac{V}{/pi R^2}=/frac{V}{/pi/left(/sqrt[3]{/frac{V}/pi}/right)^2}$

Не нашли ответа?

Если вы не нашли ответа на свой вопрос, или сомневаетесь в его правильности, то можете воспользоваться формой ниже и уточнить решение. Или воспользуйтесь формой поиска и найдите похожие ответы по предмету Алгебра.