Алгебра, опубликовано 2018-08-22 21:50:39 by Гость

Помогите решить пример,с подробным описанием хода решения,пожалуйста. Буду очень признателен и отблагодарю. Найти частные производные второго порядка функции многих переменных:

Ответ оставил Гость

Для начала найдём частные производные 1-ого порядка. Всего их 3(т.к. 3 переменные).

$u_x=(xz*tg/sqrt{y})_x=z*tg/sqrt{y}$
$u_y=(xz*tg/sqrt{y})_y=xz*/frac{1}{cos^2/sqrt{y}}*(/sqrt{y})=/frac{xz}{2/sqrt{y}*cos^2(/sqrt{y})}//u_z=(xz*tg/sqrt{y})_z=xtg/sqrt{y}$

Когда мы считаем производную по какой-то переменной, то мы считаем что все остальные переменные независимые. К примеру:
$w=2x/rightarrow w_x=2//w=yx/rightarrow w_x=y/ / / (w_y=x)//w=y+x/rightarrow w_x=1/ / / (w_y=1)$
Грубо говоря когда мы ищем производную по x, мы считаем что у это какое-то число. Надеюсь это понятно.

Теперь частные производные второго порядка.
Рассмотрим производную по х. Во второй раз мы может взять её опять же по 3 переменным.
$u_{x^2}=(z*tg/sqrt{y})_x=0//u_{xy}=(z*tg/sqrt{y})_y=/frac{z}{2/sqrt{y}*cos^2/sqrt{y}}//u_{xz}=(z*tg/sqrt{y})_z=tg/sqrt{y}$

Теперь рассматриваем производную по у. Её 2-уй производную берём снова по 3-ём переменным.
$u_{yx}=(/frac{xz}{2/sqrt{y}*cos^2(/sqrt{y})})_x=/frac{z}{2/sqrt{y}*cos^2(/sqrt{y})}$

$u_{y^2}=(/frac{xz}{2/sqrt{y}*cos^2(/sqrt{y})})_y=/frac{(xz)_y*2/sqrt{y}*cos^2(/sqrt{y})-xz*(2/sqrt{y}*cos^2(/sqrt{y}))_y}{(2/sqrt{y}*cos^2(/sqrt{y}))^2}=//=/frac{-2xz*(/frac{1}{2/sqrt{y}}*cos^2(/sqrt{y})+/sqrt{y}*2cos(/sqrt{y})*(-sin/sqrt{y})*/frac{1}{2/sqrt{y}})}{4ycos^4(/sqrt{y})}=//=/frac{-2xz*/frac{cos/sqrt{y}}{2/sqrt{y}}(cos(/sqrt{y})-2/sqrt{y}sin(/sqrt{y}))}{4ycos^4(/sqrt{y})}=/frac{-xz(cos(/sqrt{y})-2/sqrt{y}sin(/sqrt{y}))}{4/sqrt{y^3}cos^3(/sqrt{y})}//$

$u_{yz}=(/frac{xz}{2/sqrt{y}*cos^2(/sqrt{y})})_z=/frac{x}{2/sqrt{y}*cos^2(/sqrt{y})}$

Заметим что:
$u_{xy}=u_{yx}$
Такие равенства выполняются и для других смешанных производный, то есть: $u_{xz}=u_{zx}$

И наконец рассмотрим производную по z. Опять же 3 варианта. Но теперь мы воспользуемся равенством рассмотренным выше.
$u_{zx}=u_{xz}=tg/sqrt{y}//u_{zy}=u_{yz}=/frac{x}{2/sqrt{y}*cos^2(/sqrt{y})}//u_{z^2}=(xtg(/sqrt{x}))_z=0$

Ну вот и всё. Будут вопросы - спрашивайте.

Не нашли ответа?

Если вы не нашли ответа на свой вопрос, или сомневаетесь в его правильности, то можете воспользоваться формой ниже и уточнить решение. Или воспользуйтесь формой поиска и найдите похожие ответы по предмету Алгебра.