Из вершины А треугольника ABC опущены перпендикуляры AM и AP на биссектрисы внешних углов В и С. Чему равен отрезок PM, если периметр треугольника АВС равен 10? а)10; б)5; в)8; г)6.

Принимаем,что прямые АМи АР,проведенные перпендикулярно биссектрисамвнешних углов В и С, пересекают прямую,на которой лежит сторона ВС, в точках Eи G соответственно. Из того, что высотыВМ и СР получившихся треугольников ABEи ACG являются их биссектрисами, следуетто, что треугольники ABE и ACG равнобедренные,а значит AB = BE, AC = CG, тогда сумма длинотрезков BE + ВС + CG равна периметрутреугольника ABC, иEG = 10.Сдругой стороны, высоты ВМ и СР равнобедренныхтреугольников ABE и ACG — их медианы,следовательно, точки М и Р — серединыотрезков АЕ и AG соответственно. Соединивточки М и Р, мы получим среднюю линиюпостроенного треугольника AEG, исходяиз свойств которой можно вычислитьдлину отрезка РМ = 1/2 EG = 1/2 x 10 = 5. Верныйвариант: б)5.