Докажите, что диагонали АС1 и ВD1 куба ABCDA1B1C1D1 пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

1. Соединим точки А и Д₁ и точку В и С₁ и рассмотрим четырехугольник АВС₁Д₁.2. АД₁ || ВС₁, так как они лежат в параллельных плоскостях противоположных граней куба АА₁Д₁Д и ВВ₁С₁С, которые являются квадратами с одинаковыми (равными между собой) сторонами.3. АД₁ = ВС₁, как диагонали одинаковых квадратов.3. Тогда четырехугольник АВС₁Д₁ является параллелограммом (на самом деле, прямоугольником, но для решения данной задачи это доказывать не обязательно), так как его стороны взаимно параллельны и равны между собой (АВ || и = Д₁С₁ как непересекающиеся грани куба - по свойству куба).4. АС₁ и БД₁ являются диагоналями параллелограмма АВС₁Д₁, а значит они лежат в одной плоскости и в точке пересечения делятся пополам.