В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B в отношении 13:12, считая от точки B. Найдите радиус окружности , описанной окого треугольника ABC, если BC=10

Обозначим коэффициент пропорциональности деления высоты за к.
Точка пересечения высоты биссектрисой - Е, основание высоты - точка Д.
Тогда ВЕ = 13к, ЕД = 12к.
Используем свойство биссектрисы - она делит сторону треугольника пропорционально боковым сторонам.
Обозначим коэффициент пропорциональности деления боковых сторон за х.
Отрезок АД = 12х, сторона АВ = 13х.
По Пифагору (13х)² = (12х)²+(12к+13к)²
169х² = 144х²+625к²
(169-144)х² = 625к²
25х² = 625к²
х = 5к
Тангенс половины угла А = 12к / 12х = к / х
Заменим х = 5к и получим tg (A/2) = k / 5k = 1/5.
A/2 = arc tg(1/5) = 0.197396 радиан = 11.30993 градуса.
Угол А = 11.30993*2 = 22.61986 градуса.
Синус этого угла равен 0.384615.
Радиус окружности, около треугольника ABC, равен:
R = a / 2sin A = 10 / (2*0.384615) = 13.