Дано: т. O середина AB; AT=BP угол OAT=углу OBP Доказать: точке O середина PT

Для начала, определим цель: нам надо доказать равенство треугольников ΔАОТ и ΔОРВ.
Что бы это получилось, докажем, что РВ ∫∫ АТ. ∠ОАТ=∠ОВР(по усл.), а эти углы  - накрест лежащие ⇒ РВ ∫∫ АТ(за секущую возьмем ВА)(по признаку параллельности прямых (при равных н/л углах))⇒ ∠ОРВ=∠ОТА так как они н/л при парал. прям. РВ и АТ и секущ. РТ, а АТ=ОВ(по усл.)
⇒ΔАОТ = ΔОРВ (по стороне и двум прилежащим к ней углам)
⇒ТО=ОР(как соответственные элементы в равных Δ)⇒точка О середина РТ.