Через конец А отрезка АВ проведена плоскость а. Через точку В и точку С, лежащую на отрезке АВ, проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость а в точках В1 и С1. Докажите, что точки А, В1 и С1 лежат на одной прямой.

Прямые ВВ1 иСС1 - параллельны, по определению параллельных прямых, они лежат в одной плоскости  β,  которая пересекает плоскость α.  Если две плоскости  имеют общую точку,  то они имеют общую прямую, на которой лежат все их общие точки.  Точки А, В1, С1 - общие точки плоскостей α  и β, т.е. они лежат на одной прямой.   Точка А лежит на прямой  АВ,  по условию задачи, значит она лежит в плоскости β.  Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки этой прямой лежат в данной плоскости.