В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, точка O лежит на отрезке B1D1, причём B1O:OD1 = 2:1. Разложите вектор AO по векторам a=AB1, b=AD1, c=AA1

АО - должен быть диагональю некоторого прямоугольного параллелепипеда. Построим его. Итак, у нас АВСDA1B1C1D1(АВСD- верхнее основание)Проведём: 1) из точки О перпендикуляр на ВD. Появится точка К.
2) Из точки К проводим параллельно АD и параллельно АВ ( на АD появилась точка N, на АВ - точка Р)  АРКN- основание нашего нового параллелепипеда, в котором АО - диагональ)
3) строим нижнее основание этого параллелепипеда. Для этого из точки Р проводим || AA1 (появилась на А1В1 точка M) , из точки N проводим || AA1 ( появилась на А1В1 точка F)
4) Вот наш новый параллелепипед: АРКNA1MOF
В нём  АО - диагональ. Значит вектор АО = АР + АN + AA1 ( это векторы) Теперь ищем эти слагаемые: АР= 1/3 а, АN = 2/3AD, AA1 = c
Осталось найти AD по т Пифагора из ΔАDD1. AD²= b²- c²⇒ AD=√(b² - c²)
Ответ: АО = 1/3 а + 2/3√(b² - c²) + c ( это всё векторы.)