В шар радиуса 9 вписан прямой круговой цилиндр. Найти высоту цилиндра, при которой его объем является наибольшим.

Надо составить уравнение объёма, найти производную и приравнять её нулю. Обозначим высоту цилиндра х.
Радиус основания цилиндра r = √(R²-(x/2)²) = √(R²-(x²/4)).
Площадь основания S = πr² = π(R²-(x²/4) = πR²-(πx²/4).
Объём цилиндра V = S*x = (πR²-(πx²/4))*x = πR²x-(πx³/4).
Производная V = πR²-(3πx²/4) = 0.
Сокращаем на π и получаем:
(3/4)х² = R² = 9² = 81
x² = 81 / (3/4) = (81*4) / 3
x = (9*2) / √3 = 18 / √3 = 10,3923.