Докажите, что центры тяжести четырёх треугольников, вершины которых совпадают с тремя вершинами данного четырехугольника, являются вершинами четырехугольника, гомотетичного данному.

Прямо, как мысль катилась :)
Для произвольной точки O и произвольного треугольника ABC с центром тяжести G
OG = (OA + OB  +OC)/3; (жирным обозначены вектора);
Пусть теперь O - центр тяжести всего четырехугольника. Тогда
OD = -(OA + OB + OC) = -3*OG;
Легко видеть, что так же точно OA = -3*OG1; OB = -3*OG2; OC = -3*OG3;
где G1 - центр тяжести CBD, G2 - ACD; G3 - ABD;
То есть многоугольник GG1G2G3 получается из ABCD при пребразовании гомотетии с центром в точке O и коэффициентом k = -1/3;