В равнобедренной трапеции MNKP диагональ МК является биссектрисой угла при нижнем основании МР. Меньшее основание NK равно 8 см. Найдите площадь трапеции, если один из углов в два раза меньше другого. В каком отношении высота КЕ делит основание МР? Ответ: SMNKP = 48√3 см2; МЕ : ЕР = 3 : 1.

∠N=2∠M
∠M+∠N=180°⇒   ∠M+2·∠M=180°    ⇒3·∠M=180°    
∠M=60°
∠N=30°

∠NMK=30°     ∠KMP=30°         так как   МК- биссектриса угла М
∠NKM=∠KMP=30° - внутренние накрест лежащие при параллельных NK и MP    и секущей    МК

Треугольник MNK - равнобедренный
NM=NK=KP=8 см

Проводим высоты NF    и    KE    на сторону МР

Из прямоугольного треугольника MNF:
∠ M =60°
∠MNF=30°
MF=4 см ( катет против угла в 30° равен половине гипотенузы)
По теореме Пифагора
NF²=MN²-FM²=8²-4²=64-18=48
NF=4√3 см
h ( трапеции)=4√3 см

NF=EP=4 см

MP=MF+FE+EP=4+8+4=16 см

S( трапеции)=(NK+MP)·h/2=(8+16)·4√3/2=48√3    кв. см

ME=MF+FE=4+8=12
ME:EP=12:4=3:1