Аня нарисовала квадрат ABCD. Затем она построила равносторонний треугольник ABM так, что вершина M оказалась внутри квадрата. Диагональ AC пересекает треугольник в точке K. Докажите, что CK = CM.

Очевидно что вершина  будет симметрична относительно сторона , и будет лежать на одной прямой с точкой пересечения диагоналей. Положим что сторона квадрата равна  . 
Так как треугольник - равносторонний , следует что   , . 
 
 
Тогда  
 
то есть  
откуда   

Теперь положим что   верно , тогда должно выполнятся условие   

найдем эти углы 
по теореме косинусов подставим известные величины 

откуда 
 
 
то есть условия выполняются , то есть наше изначальное предположение было верно