Дан куб АВСDА1В1С1D. Точки K, L, M, N–соответственно середины ребер A1D1, D1C1, DC, AD. Докажите, что плоскость, которая проходит через эти точки, параллельна плоскости четырехугольника АА1С1С.

Рассматриваем  плоскости  АСС1А1 и KLMN ( если 2 пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то  эти плоскости параллельны. Это признак параллельности плоскостей.)
MN || AC ( MN - средняя линия Δ АСD) , ML || CC1( M и L cередины CD и  В1С1)
MN и  ML - это прямые (MNK), AC и СС1 - это прямые ( АСС1) выполняется признак параллельности плоскостей. (MNK)||(ACC1)