Каким образом пауки дышат под водой

Специальных органов нет.
Создает из паутины и водорослей колокол, наполняет его воздухом и утаскивает под воду (удерживает волосками на брюшке и паутинными бородавками).
Этого воздуха может хватить примерно на полчаса. Потом 
колокол становится подобием жабр. Через его стенку из воды просачивается кислород (при падении концентрации кислорода внутри колокола) и обратно в воду просачивается образованный углекислый газ (когда его концентрация внутри колокола становится выше, чем в окружающей воде)
Так и дышит паук, пока система работает