Докажите равенство двух равнобедренных треугольников по углу при основании и высоте, проведенной к боковой стороне

Может быть, так
Пуст высота y, а угол A.
Высота h является и медианой, т.е. делит основание пополам.
Тогда половина основания(катет прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, высотой и половиной основания) равна h*ctg A, а боковая сторона равна h/sin A. Основание равно 2h*ctg A.
Значит треугольники равны  по 2-м сторонам и углу между ними.