Стороны треугольника 51 см, 85 см и 104 см. Центр окружности, касающейся двух меньших сторон треугольника, лежит на его большей стороне. На какие части делит этот центр большую сторону треугольника?

Соединим вершину, противолежащую большей стороне с центром окружности.
Проведем перпендикуляры из центра на меньшие стороны.
По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки, отрезки касательных равны.
Прямоугольные треугольники равны по двум катетам. 
Значит, отрезок, соединяющий вершину с треугольника с центром окружности является биссектрисой.
По свойству биссектрисы угла треугольника, биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

х:y=51:85=3:5
Значит, центр окружности делит большую сторону в отношении 3:5

3+5= 8 частей

104:8=13 см в одной части

в трех частях    39 см
в пяти частях    65 см

39+65=104 см

Ответ. 39 см; 65 см