Помогите, братцы! Высота правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол 45°. Найти сторону основания пирамиды.

Если угол между апофемой А и плоскостью основания равен 45гр., то проекция апофемы Апр на плоскость основания равна высоте пирамиды Апр = Н = 6см
Теперь рассмотрим правильный треугольник, лежащий в основании пирамиды. Проекция апофемы Апр перпендикулярна стороне основания, на которую опущена апофема, и является частью высоты(она же биссектриса, она же и медиана) правильного треугольника. Главное, что частью медианы. Вершина пирамиды проецируется в точку О основания, которая является точкой пересечения медиан. А медианы точкой пересечения делятся в отношении 1:2. Поэтому вся медиана состоит из трёх отрезков, равных каждый Апр= 6см, т.е. вся медиана(высота, биссектриса) равна h =18см.
Итак, в равностороннем треугольнике высота равна 18 см, тогда сторона треугольного основания а = h : cos 30 = 18 : 0.5√3 = 12√3cм