Геометрия, опубликовано 2018-08-22 00:16:32 by Гость

Помогите пожалуйста нужно пошаговое решение! Доказать, что во всяком треугольнике ABC между его площадью S и радиусами вписанной и описанной окружности существует соотношение

Ответ оставил Гость

Для любого треугольника справедливы формулы
(a,b,c - стороны, р - полупериметр)

$S=/frac{a+b+c}{2}r=pr$
$S=/frac{abc}{4R}$
$S=/sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
отсюда

$r^3R=/frac{S^3}{p^3}*/frac{abc}{4S}=/frac{S^2abc}{4p^3}$
$/frac{S^2}{4}=r3R/frac{p^3}{abc}$

Докажем что для любой стороны треугольника справедливо
полупериметр больше любой стороны
$p>a; p>b; p>c$

не ограничивая общности пусть
$a /leq b /leq c$
по неравенству треугольника
$c<a+b$
откуда
$c+c<a+b+c$
$2c<a+b+c$
$c </frac{a+b+c}{2}$
$a /leq b /leq c <p$
доказано

значит $/frac{p}{a}>1$
$/frac{p}{b}>1$
$/frac{p}{c}>1$

а значит $/frac{S^2}{4}=r^3R*/frac{p^3}{abc}=////r^3R*/frac{p}{a}*/frac{p}{b}*/frac{p}{c}>r^3R$
что равносильно неравенству $S>2/sqrt{r^3R}$
Доказано

Не нашли ответа?

Если вы не нашли ответа на свой вопрос, или сомневаетесь в его правильности, то можете воспользоваться формой ниже и уточнить решение. Или воспользуйтесь формой поиска и найдите похожие ответы по предмету Геометрия.