Геометрия, опубликовано 2018-08-22 01:47:08 by Гость

Помогите решить задачу: Четырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса √159 прямые содержащие противолежащие стороны пересекаются в точках P и Q расстояния от этих точек до центра окружности соответственно равно 15 и 17 найдите длину отрезка PQ. Заранее огромное спасибо.

Ответ оставил Гость

Лемма. Если из точки P к окружности проведены две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках A и B, а вторая в точках C и D, то
$PA/cdot PB=PC/cdot PD$ . Это легко следует из подобия по двум углам треугольников PBC и PDA.

Решение исходной задачи. Обозначим центр окружности О, P - точка пересечение лучей AB и DC, Q - точка пересечения лучей BC и AD, PO=15, QO=17, радиус $R=/sqrt{159}$ . Пусть также М - точка пересечения окружностей описанных около треугольников BCP и DCQ. Тогда
$/angle PMC=180^/circ-/angle PBC=/angle ABC$
$/angle QMC=180^/circ-/angle QDC=/angle ADC$
Следовательно $/angle PMC+/angle QMC=/angle ABC+ /angle ADC=180^/circ$ , т.е. точка М лежит на отрезке PQ.

Теперь если провести секущую из P через О, то по лемме получаем:
$PC/cdot PD=(PO+R)(PO-R)=PO^2-R^2=15^2-159=66$ .
А также $PM/cdot PQ=PC/cdot PD=66.$
Аналогично, если провести секущую из Q через О, то
$QC/cdot QB=(QO+R)(QO-R)=QO^2-R^2=17^2-159=130$ .
А также $QM/cdot PQ=QC/cdot QD=130.$
Таким образом, $PM/cdot PQ+QM/cdot PQ=(PM+QM)PQ=PQ^2=66+130=196,$ откуда PQ=14.

Не нашли ответа?

Если вы не нашли ответа на свой вопрос, или сомневаетесь в его правильности, то можете воспользоваться формой ниже и уточнить решение. Или воспользуйтесь формой поиска и найдите похожие ответы по предмету Геометрия.