Геометрия, опубликовано 2018-08-22 07:53:57 by Гость

У прямокутному трикутнику перпендикуляр проведений із вершини прямого кута, ділить гіпотенузу на відрізки 9 см і 16 см. Точка простору віддалена від кожної сторони трикутника на 13 см. Обчисліть відстань від цієї точки до площини трикутника.

Ответ оставил Гость

Легко понять, что, если соединить точку пространства со всеми тремя сторонами перпендикулярами и спроектировать это всё чудо на площадь треугольника, то точка спроектируется в центр вписанной окружности, а отрезки — в её радиусы. Поэтому для нахождения расстояния от точки до плоскости нужно всего лишь найти этот радиус.

Гипотенуза треугольника равна 25 см. Далее, известный факт, что высота $AH$ , проведённая к гипотенузе $BC$ , может быть вычислена, как $AH = /sqrt{BH/cdot CH}$ . Отсюда получаем
$AH = /sqrt{16 /cdot 9} = 12$
Найдём периметр из теоремы Пифагора:
$P = 25 + /sqrt{144 + 81} + /sqrt{144 + 256} = 25 + 15 + 20 = 60$

радиус окружности:
$r = /dfrac{S}{/frac{1}{2}P} = /dfrac{AH /cdot BC}{30} = /dfrac{12 /cdot 25}{30} = 10.$

$d = /sqrt{13^2 - 10^2} = /sqrt{69}.$

Ответ: $/sqrt{69}$

PS Доказательство формулы $AH = /sqrt{BH/cdot CH}$ :

$/mathrm{tg} /: B = /dfrac{AH}{BH}$
$/mathrm{ctg} /: C = /dfrac{CH}{AH}$
$B = 90^/circ - C$
$/mathrm{ctg} /: B = /mathrm{ctg} /: (90^/circ - A) = /mathrm{tg} /: A$

$/dfrac{AH}{BH} = /dfrac{CH}{AH}$
$AH^2 = BH /cdot CH$

Не нашли ответа?

Если вы не нашли ответа на свой вопрос, или сомневаетесь в его правильности, то можете воспользоваться формой ниже и уточнить решение. Или воспользуйтесь формой поиска и найдите похожие ответы по предмету Геометрия.