На основании BK равнобедренного треугольника ВСК отложены отрезки ВА=DK, докажите, что угол ВСА равен углу DCK

Треугольник ВСК - равнобедренный ⇒   ВС=СD    и   ∠CBD = ∠BDC
Но тогда и смежные им углы тоже равны
∠АВС=180°-∠СBD
∠KDC=180°-∠BDC   

∠ABC=∠KDC

Треугольники АВС и KDC   равны по двум сторонам и углу между ними

AB=DK    по условию
BC=CD    боковые стороны равнобедренного треугольника
∠ABC=∠KDC    смежные к равным углам основания равнобедренного треугольника

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов
 ∠ВСА =∠ DCK