Геометрия, опубликовано 2018-08-22 09:46:31 by Гость

Напишите уравнение окружности, проходящей через три данные точки: а) А ( 1; -4), В (4; 5), С (3; -2); б) А (3; -7), В (8; -2), С (6; 2).

Ответ оставил Гость

Уравнение окружности имеет вид:
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ , где (a; b) - центр окружности, r - ее радиус

а)
Подставляем координаты точек в уравнение:
$/begin{cases} (1-a)^2+(-4-b)^2=r^2 // (4-a)^2+(5-b)^2=r^2 // (3-a)^2+(-2-b)^2=r^2 /right /end{cases}$
Правые части равны, значит равны и левые части. Приравниваем левые части первого и второго уравнений:
$(1-a)^2+(-4-b)^2=(4-a)^2+(5-b)^2 /// (1-a)^2+(4+b)^2=(4-a)^2+(5-b)^2 /// 1-2a+a^2+16+8b+b^2=16-8a+a^2+25-10b+b^2 /// 1-2a+8b=-8a+25-10b /// 6a+18b-24=0 /// a+3b-4=0 /// /Rightarrow a=4-3b$
Приравниваем левые части второго и третьего уравнений:
$(4-a)^2+(5-b)^2=(3-a)^2+(-2-b)^2 /// (4-a)^2+(5-b)^2=(3-a)^2+(2+b)^2 /// 16-8a+a^2+25-10b+b^2=9-6a+a^2+4+4b+b^2 /// 16-8a+25-10b=9-6a+4+4b /// 2a+14b-28=0 /// a+7b-14=0$
Подставляем вместо а полученное ранее выражение:
$4-3b+7b-14=0 /// 4b=10 /// /Rightarrow b=2.5 /// /Rightarrow a=4-3/cdot2.5=-3.5 /// /Rightarrow r^2=(4-(-3.5))^2+(5-2.5)^2=56.25+6.25=62.5$
Искомое уравнение окружности: $(x+3.5)^2+(y-2.5)^2=62.5$

б)
Подставляем координаты точек в уравнение:
$/begin{cases} (3-a)^2+(-7-b)^2=r^2 // (8-a)^2+(-2-b)^2=r^2 // (6-a)^2+(2-b)^2=r^2 /right /end{cases}$
Приравниваем левые части первого и второго уравнений:
$(3-a)^2+(-7-b)^2= (8-a)^2+(-2-b)^2 /// (3-a)^2+(7+b)^2= (8-a)^2+(2+b)^2 /// 9-6a+a^2+49+14b+b^2=64-16a+a^2+4+4b+b^2 /// 9-6a+49+14b=64-16a+4+4b /// 10a+10b-10=0 /// a+b-1=0 /// /Rightarrow a=1-b$
Приравниваем левые части второго и третьего уравнений:
$(8-a)^2+(-2-b)^2=(6-a)^2+(2-b)^2 /// (8-a)^2+(2+b)^2=(6-a)^2+(2-b)^2 /// 64-16a+a^2+4+4b+b^2=36-12a+a^2+4-4b+b^2 /// 64-16a+4b=36-12a-4b /// 4a-8b-28=0 /// a-2b-7=0$
Подставляем вместо а полученное ранее выражение:
$1-b-2b-7=0 /// 3b=-6 /// /Rightarrow b=-2 /// /Rightarrow a=1-(-2)=3 /// /Rightarrow r^2=(6-3)^2+(2-(-2))^2=9+16=25$
Искомое уравнение окружности: $(x-3)^2+(y+2)^2=25$

Не нашли ответа?

Если вы не нашли ответа на свой вопрос, или сомневаетесь в его правильности, то можете воспользоваться формой ниже и уточнить решение. Или воспользуйтесь формой поиска и найдите похожие ответы по предмету Геометрия.