Высота прямоугольного треугольника делит его на два треугольника. Радиусы окружностей, вписанных в эти два треугольника, равны 1 и 2. Найдите радиус окружности, вписанной в исходный треугольник.

Все три треугольника подобны между собой. Это означает, что радиусы вписанных окружностей пропорциональны гипотенузам этих треугольников (с одним и тем же коэффициентом пропорциональности). В двух треугольниках, на которые высота делит исходный, "роль гипотенуз выполняют" катеты исходного треугольника.
Поэтому r^2 = r1^2 + r2^2 = 5;