Докажите, что биссектриса СК прямого угла треугольника АВС делит пополам угол между высотой СН и медианой СМ. Найдите сто- роны треугольника АВС, если НК = 4 и КМ = 5

Описанная вокруг ABC окружность имеет центр в точке M. 
Пусть другой конец диаметра, проходящего через точку C - точка Е.
Кроме того, пусть точка F на этой окружности лежит на продолжении CH.
Поскольку CE - диаметр, то угол EFC прямой, то есть EF II AB. 
Биссектриса угла ABC делит дугу AFEB пополам. Пусть точка N на окружности лежит на продолжении биссектрисы, тогда дуги AN и NB равны (это дуги в четверть окружности). Из параллельности EF и AB следует что дуги AF и BE равны, следовательно, равны и дуги FN и NE. 
Поэтому CN - биссектриса угла FCE, что и требовалось доказать.