Из вершины прямоугольника на диагональ проведен перпендикуляр, который делит её на два отрезка длиной 9 и 16 см. Найдите косинус угла, образованного меньшей стороной и диагональю.

Обозначим прямоугольник АВСД.
 Диагональ АС.
На неёиз вершины В опущен перпендикуляр ВК,
 и по условию АК=9, КС=16. ВК этообщая высота в прямоугольных треугольниках АВК и СВК.
Отсюда по теоремеПифагора АВ квадрат-АК квадрат=ВС квадрат-КС квадрат. Или АВквадрат-81=ВС квадрат-256. Отсюда ВС квадрат=АВ квадрат+175. 
Втреугольнике АВС также АВ квадрат+ ВС квадрат= АС квадрат.
Или АВквадрат+ВС квадрат=(9+16)квадрат.
 АВ квадрат+ ВС квадрат=625.
Подставимсюда ранее найденное выражение для ВС квадрат и получим АВ квадрат+(АВквадрат+175)=625.
Отсюда АВ=15. ВК=корень из(АВ квадрат-АКквадрат)=корень из(225-81)=12.
 Искомый тангенс угла ВАК,tg=ВК/АК=12/9=4/3.