Геометрия, опубликовано 2018-08-22 21:39:08 by Гость

Даю 100 баллов Знатоки ,помогайте 1)Доказать,что площадь треугольника АВС,вписанного в окружность равна S=(abc)/4R 2)Дан четырехугольник АВСД, точка О-точка пересечения диагоналей Доказать,что SAOBxSCOD=SAODxSBOC

Ответ оставил Гость

1. По теореме синусов, $/frac{AB}{sinC} = /frac{BC}{sinA} = /frac{AC}{sinB} =2R$ .
Выразим отсюда $sinA$ : $sinA= /frac{BC}{2R}$ .

Теперь воспользуемся одной из формул площади треугольника: $S= /frac{1}{2} *AB*AC*sinA$ . Подставив сюда дробь вместо синуса, имеем $S= /frac{1}{2} *AB*AC* /frac{BC}{2R} = /frac{AB*BC*AC}{4R}$ , что и требовалось.

2. Обозначим за $/alpha$ угол $AOB$ .
Воспользуемся формулой площади треугольника из предыдущей задачи:
$S(AOB)= /frac{1}{2} OA*OB*sin /alpha , S(BOC)= /frac{1}{2} OB*OC*sin (/pi - /alpha) // S(COD)= /frac{1}{2} OC*OD*sin /alpha, S(AOD)= /frac{1}{2} OA*OD*sin (/pi - /alpha)$

Заметим, что синусы вертикальных углов равны, поэтому
$sin /alpha =sin( /pi - /alpha )$ .

Подставляем значения площадей в левую и правую часть:
$S(AOB)*S(COD)= /frac{1}{4}*AO*BO*CO*DO*sin^{2} /alpha$
$S(AOD)*S(BOC)= /frac{1}{4}*AO*BO*CO*DO*sin^{2} /alpha$

Произведения площадей равны, что и требовалось.

Не нашли ответа?

Если вы не нашли ответа на свой вопрос, или сомневаетесь в его правильности, то можете воспользоваться формой ниже и уточнить решение. Или воспользуйтесь формой поиска и найдите похожие ответы по предмету Геометрия.