Геометрия, опубликовано 2018-08-22 21:13:58 by Гость

Аня нарисовала квадрат ABCD. Затем она построила равносторонний треугольник ABM так, что вершина M оказалась внутри квадрата. Диагональ AC пересекает треугольник в точке K. Докажите, что CK = CM.

Ответ оставил Гость

Очевидно что вершина $M$ будет симметрична относительно сторона $AD;BC$ , и будет лежать на одной прямой с точкой пересечения диагоналей. Положим что сторона квадрата равна $x$ .
Так как треугольник $ABM$ - равносторонний , следует что $MBC=90а-60а=30а$ , $BCK= /frac{90а}{2}=45а$ .
$AM=BM=x$
$BK=x*/frac{sin45а}{sin(180а-45а-30а)}=(/sqrt{3}-1)x$
Тогда $MK=x-BK=x(2-/sqrt{3})$
$BH=/frac{2x}{/sqrt{3}}// HC=/frac{x}{/sqrt{3}}$
то есть $HM=BH-x=/frac{x(2-/sqrt{3})}{/sqrt{3}}$
откуда $CM=/sqrt{2-/sqrt{3}}x$

Теперь положим что $CK=CM$ верно , тогда должно выполнятся условие $KCM+MCH=45а$

найдем эти углы
по теореме косинусов подставим известные величины
$MK^2=2CK^2-2CK^2*cosKCM// HM^2=CK^2+HC^2-2*CK*HC*cosMCH$
откуда

$KCM+MCH=arccos/frac{/sqrt{3}}{2}+arccos(/frac{1}{2*/sqrt{2-/sqrt{3}}}) =30а+15а=45а$
то есть условия выполняются , то есть наше изначальное предположение было верно
$CK=CM$

Не нашли ответа?

Если вы не нашли ответа на свой вопрос, или сомневаетесь в его правильности, то можете воспользоваться формой ниже и уточнить решение. Или воспользуйтесь формой поиска и найдите похожие ответы по предмету Геометрия.