Геометрия, опубликовано 2018-08-22 14:05:56 by Гость

Пускай в трапецию ABCD (основы AD и BC) вписана окружность радиуса r. В треугольники ABC и ACD вписаны окружности с радиусами r(abc) и r(acd) соответственно. Известно, что для радиусов выполняется r:r(abc):r(acd)=9:4:6. Найти соотношения между сторонами трапеции.

Ответ оставил Гость

Если не ошибаюсь , то решение примерно такое
Заметим что углы $/angle BCA= /angle CAD$ как на крест лежащие
Тогда как $S_{ABC} + S_{ACD} = S_{ABCD} // /angle BCA=y// /frac{BC*AC*siny}{2} + /frac{AD*AC*siny}{2} = S_{ABCD}$
Обозначим так же радиусы как $9x;4x;6x$ , не обобщая общности , можно взять $9;4;6$
Так как в трапеция вписана окружность $AB+CD=BC+AD$
$AC*siny(BC+AD) = 18*(BC+AD)// AC*siny =18//$
С другой стороны площади треугольников через радиусы
$S_{ABC}=(AB+BC+AC)*2 // S_{ACD}=(CD+AD+AC)*3$
Откуда
   $(AB+BC+AC)*2=9BC// (CD+AD+AC)*3=9AD$
   $AC=3.5*BC-AB // AC=2*AD-CD$

Положим что $BC=x; AB=y ; AD=z; CD=n ////$
Если выразить углы , из теоремы косинусов , соответственно из тех же треугольников , получим
   $cosBCA = /frac{53*x-28*y}{28*x-8*y} // cosBCA = /frac{4*n-5*z}{2*n-4*z}$
Приравнивая
   $/frac{53*x-28*y}{28*x-8*y}= /frac{4*n-5*z}{2*n-4*z } // x+z= y+n //, 3.5*x-y=2*z-n$
получим
   $x=/frac{4n}{5}// y=/frac{17*n}{15} // z=/frac{4n}{3}// n /neq 0$
Так как $cosBCA=/frac{4}{5}// sinBCA=/frac{3}{5}// AC= 18*/frac{5}{3} = 30$
Откуда $n=18$

То есть стороны равны
   $AB=/frac{17*18}{15} = /frac{102}{5} // BC=/frac{4*18}{5} = /frac{72}{5}// AD=24 // CD=18$

Не нашли ответа?

Если вы не нашли ответа на свой вопрос, или сомневаетесь в его правильности, то можете воспользоваться формой ниже и уточнить решение. Или воспользуйтесь формой поиска и найдите похожие ответы по предмету Геометрия.