Геометрия, опубликовано 2018-08-22 14:47:48 by Гость

В треугольника АВС через G обозначено точку пересечения медиан; через r, r1, r2, r3 - радиусы кругов, вписанных в треугольники ABC, GAB, GBC, GAC, соответственно; p - полупериметр треугольника АBC.

Ответ оставил Гость

Пусть $a,/,b,/,c,/,m_a,/,m_b,/, m_c$ - длины сторон и медиан треугольника ABC, $S_{ABC}=S.$ Воспользовавшись формулу $S=pr$ и то, что $S_{GBC}=S_{GAB}=S_{GAC}= /frac{S}{3}$ , получаем, что нужно доказать неравенство.
Подставив вместо р и r, получим
$/frac{3a+2(m_b+m_c)}{2S} + /frac{3b+2(m_a+m_b)}{2S} + /frac{3c+2(m_a+m_b)}{2S} /geq /frac{3(a+b+c)}{2S} + /frac{36}{a+b+c}$
Упрощать здесь не буду, но напишу упрощенный
$/frac{m_a+m_b+m_c}{S} /geq /frac{6S}{a+b+c}$
Или имеем такое равенство: $/frac{m_a}{3} + /frac{m_b}{3}+ /frac{m_c}{3} /geq /frac{6S}{a+b+c}$

Пусть $d_a,/, d_b,/, d_c-$ расстояния от точки G к сторонам a, b, c треугольника АВС. Очевидно, что $d_a /leq /frac{m_a}{3} ,/,d_b /leq /frac{m_b}{3} ,/, d_c= /frac{m_c}{3}$ Также имеем $d_a= /frac{2S_{GBC}}{a} = /frac{2S}{3a}$ . Аналогично, $d_b= /frac{2S}{3b} ,/,/, d_c= /frac{2S}{3c}$

Достаточно доказать неравентсво $/frac{2S}{3a} + /frac{2S}{3b}+ /frac{2S}{3c} /geq /frac{6S}{a+b+c}$ , которое равносильна неравенству, что выражает отношение между средним арифметическим и средним гармоническим 3 положительных чисел:
$/frac{a+b+c}{3} /geq /frac{3}{ /frac{1}{a}+/frac{1}{b}+/frac{1}{c} }$

Не нашли ответа?

Если вы не нашли ответа на свой вопрос, или сомневаетесь в его правильности, то можете воспользоваться формой ниже и уточнить решение. Или воспользуйтесь формой поиска и найдите похожие ответы по предмету Геометрия.