Найдите площадь ромба АВСD, если известно, что диагональ АС равна 4, а радиус вписанной в него окружности равен 4/корень из 5

AO =AC/2 =4/2 =2 ;  Треугольник  ΔAOB прямоугольный  ( Проведем высоту из прямого угля  OH ┴ AB   ; OH =r =4/√5 .
Из ΔAOB  по теореме Пифагора 
AH =√(AO² -OH²) =√(2² -(4/√5)²) =√(4 -16/5)=√((20 -16)/5) =√(4/5) =2/√5.
AO² =AB*AH² ⇒  AB =AO²/AH =2²/(2/√5)=4*(√5/2) =2√5 .
***   (пропорциональные отрезки  в прямоугольном треугольнике  ****
S(ABCD) =AB*h =AB*2r =2√5*2*4/√5 = 16.