Даны ∆ ABC и точки M и N такие, что середина отрезка BM совпадает с серединой стороны AC, а середина отрезка CN – с серединой стороны АВ. Доказать, что точки М , N и А лежат на одной прямой.

АВСМ - параллелограмм,  т.к.  АО=ОС,  ВО=ОМ,  точка О - середина стороны АС.  (Признак параллелограмма:  если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам,  то это параллелограмм) Значит  АМIIBC,
Аналогично,  ACBN - параллелограмм,  а значит ANIIBC.  Через точку А  проходят две прямые,  параллельные третьей.  По аксиоме параллельности прямых  они совпадают.  Т.е.  точки  N,M,A лежат на одной прямой.