В кубе с ребром 2 через точку, лежащую на одном из ребер, и диагональ куба, не пересекающую это ребро, проведена плоскость. Какую наименьшую площадь может иметь сечение куба этой плоскостью

Фигура в сечении будет ромбом (докажите :) ).
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей, одна из которых имеет фиксированную длину.  То есть минимум будет, если расстояние от точки до центра куба (который очевидно и есть точка пересечения диагоналей ромба в сечении) минимально.
То есть диагонали ромба в МИНИМАЛЬНОМ сечении равны  2√3 (большая диагональ куба) и 2√2 (это диагональ грани). 
Площадь минимального сечения 2√6;