Геометрия, опубликовано 2018-08-22 18:17:05 by Гость

На боковых ребрах АА1, ВВ1 и СС1 правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 (АА1 || ВВ1 || СС1) расположены точки К, L, и М соответственно. Известно, что угол между прямыми KL и АВ равен pi/4 , а угол между прямыми КМ и АС - pi/3 . а) Постройте плоскость, проходящую через точки K, L и М б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания АВС

Ответ оставил Гость

а) Постройте плоскость, проходящую через точки K, L и М - для этого надо просто соединить эти точки.

б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания АВС.
Продлим отрезки КМ и KL до пересечения с плоскостью АВС. Для этого достаточно продлить стороны АС и АВ.
Точки пресечения - это Д и Е.
Примем длину отрезка АК за 1.
Из треугольника АКД отрезок АД = 1 / tg 60 = 1 / √3.
Аналогично АЕ = 1 / tg 45 = = 1 / 1 = 1.
Угол ЕАД равен 60 градусов (по заданию).
По теореме косинусов $ED= /sqrt{1^2+( /frac{1}{ /sqrt{3}} )^2-2*1*( /frac{1}{ /sqrt{3} } )*cos60}=$
$= /sqrt{1+ /frac{1}{3} -2*1* /frac{1}{ /sqrt{3} }* /frac{1}{2}} = /sqrt{ /frac{4- /sqrt{3} }{3} } =0.869472866.$
Находим гипотенузы в треугольниках АКД и АКЕ.
$KD= /sqrt{AK^2+AD^2} = /sqrt{1+ /frac{1}{3} } = /frac{2}{ /sqrt{3} } .$
КЕ = √(1²+1²) = √2 (острые углы по 45 градусов).
Теперь определены 3 стороны в треугольнике КЕД, угол наклона которого к плоскости АВС надо найти.
Для этого двугранный угол между основой и треугольником КДЕ надо рассечь плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения ЕД.
Находим высоты в треугольниках АЕД и КЕД по формуле:
$h _{a} = /frac{2 /sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} }{a} .$
АЕ ДЕ АД   p 2p S =
1   0.8694729   0.5773503   1.2234116   2.446823135     0.25
haе        hде      hад
0.5       0.57506   0.86603

КЕ   ДЕ   КД   p 2p S =
1.4142136 0.869473   1.154701   1.719194    3.43839   0.501492
hке   hде hкд
0.7092 1.15356   0.86861.
Отношение высот hде и  hде  - это косинус искомого угла:
cos α = 0.57506 / 1.15356 = 0.498510913.
Ответ: α = 1.048916149 радиан = 60.09846842°.

Не нашли ответа?

Если вы не нашли ответа на свой вопрос, или сомневаетесь в его правильности, то можете воспользоваться формой ниже и уточнить решение. Или воспользуйтесь формой поиска и найдите похожие ответы по предмету Геометрия.