Докажите, что отрезки общих внутренних касательных к двум окружностям одинакового радиуса в точке пересечения делятся пополам.

Дело в том, что мы получили симметричную фигуру с центром симметрии в точке пересечения отрезков. А точка симметрии всегда делит любой отрезок пополам.
Значит, отрезки ab и cd в точке своего пересечения делятся пополам.