Математика, опубликовано 2018-08-22 23:09:41 by Гость

При каком условии интеграл представляет собой рациональную функцию? Нужно как то доказать.

Ответ оставил Гость

Положим $/frac{nx^2+mx+v}{x^3} + /frac{ux+y}{(x-1)^2} = /frac{ax^2+bx+c}{x^3(x-1)^2}$
Открыв скобки , и приравняв соответствующие коэффициенты
$n+u=0 // m-2n+y=0// -2m+n+v=a // m-2v=b // v=c$
$m=2c+b // n= a+2b+3c // u=-a-2b-3c // v=c // y=2a+3b+4c$
$/frac{(a+b*2+3c)*x^2+(2c+b)x+c}{x^3} + /frac{ (-a-2b-3c)x+2a+3b+4c}{(x-1)^2}$ По отдельности
$/frac{a+2b+3c}{x} + /frac{2c+b}{x^2} + /frac{c}{x^3}$ $+ /frac{ (-a-2b-3c)x+2a+3b+4c}{(x-1)^2}$
По свойству интеграла
$/int/limit {(f(x)+f_{1} +...+(x) + f_{n}(x)} )dx =/int/limits{f_{1}(x)} /, dx+/int/limits { f_{2}(x)}dx+...+$
Получим
$/frac{a+b+c}{1-x} - /frac{b+2c}{x} - /frac{c}{2x^2} + ln(1-x)(a+2b+3c) + lnx(a+2b+3c)+C$
Откуда следует , для того чтобы функция была рациональной
$1) a+2b+3c=0 //a+b+c/ /textgreater / 0 // b+2c/ /textless / 0// c/ /textless / 0 //// 2)a+2b+3c=0 // a+b+c/ /textless / 0 //b+2c/ /textgreater / 0// c/ /textless / 0 //// 3) a+2b+3c=0//a+b+c/ /textless / 0 // b+2c/ /textgreater / 0// c/ /textgreater / 0 ////$

Откуда решения
$1) // a/ /textgreater / 0 / / ; b/ /textgreater / -/frac{a}{2} / / ; c=/frac{-a-2b}{3} // a /leq 0 / / b/ /textgreater / -2a / / ; c = /frac{-a-2b}{3}$
$2) // a/ /textless / 0 / / ; -/frac{a}{2}/ /textless / b/ /textless / -2a / / ; / / / c = /frac{-a-2b}{3}$
$3) // a/ /textgreater / 0 ; / / b/ /textless / -2a ; / / c=/frac{-a-2b}{3} // a /leq 0 / / b/ /textless / -/frac{a}{2} / / c=-/frac{-a-2b}{3}$

Не нашли ответа?

Если вы не нашли ответа на свой вопрос, или сомневаетесь в его правильности, то можете воспользоваться формой ниже и уточнить решение. Или воспользуйтесь формой поиска и найдите похожие ответы по предмету Математика.