Рома и Дима записывают девятнадцатизначное число, используя только цифры 1,2 и 4.Первую цифру пишет Рома , вторую Дима , третью снова Рома и так далее по очереди .Рома хочет получить в результате число , кратное 3. Может ли Дима помешать ему это сделать ?

Да, может.
Диме нужно приписывать такую цифру, чтобы последняя написанная Ромой цифра и его давали в сумме число, делящееся на 3.
Тогда после того, как будет написано 18 цифр, это 18-значное число окажется кратным 3. И Рома должен будет приписать или 1, или 2 или 4, получая число, не кратное 3.

Если Рома пишет 1 или 4, то Дима пишет 2.
Если Рома пишет 2, то Дима пишет 1 или 4.