Может ли число, составленное из одних пятёрок быть точным квадратом?

Нет, не может.
Это число будет выглядеть так: *...55, то есть заканчиваться число будет двумя пятёрками. Пятёрка в конце произведения может появиться только в том случае. если один из сомножителей заканчивается цифрой 5. Исходя из условия и второй сомножитель должен быть таким же, то есть оканчиваться цифрой 5. Но в таком случае две последние цифры произведения будут не 55, а 25.