Математика, опубликовано 2018-08-22 23:36:08 by Гость

Xy=y-(x^2+y^2)^1/2 помогите найти общий интеграл дифференциального уравнения.

Ответ оставил Гость

Уравнение по виду - однородное.
Сделаем замену $y = tx$ , где $t$ - неизвестная функция. Отсюда $y = (tx) = tx + tx = tx + t$ .
Тогда уравнение примет вид
$x(tx + t) = tx - x /sqrt{t^2+1}$ ,
или, после деления на $x$ и уничтожения $t$ в обеих частях,
$tx = - /sqrt{t^2+1}$ .
Получено уравнение с разделяющимися переменными. Дальнейшие действия стандартные и не нуждаются в комментариях:
$x /frac{dt}{dx} = - /sqrt{t^2+1}, // -/frac{dt}{/sqrt{t^2+1} } = /frac{dx}{x} , // -/int {/frac{dt}{/sqrt{t^2+1}} /, = /int { /frac{dx}{x} } /,$
$ln|x| = -ln|t+ /sqrt{t^2+1} | + ln|C| // ln|x| = ln| /frac{C}{t+ /sqrt{t^2+1} }| // x = /frac{C}{t+ /sqrt{t^2+1} }$
$x(t+ /sqrt{t^2+1} ) = C$
Делаем обратную подстановку и получаем общий интеграл:
$y + /sqrt{y^2 + x^2} = C$ .
В процессе решения мы делили на x. Легко убедиться проверкой, что х = 0 является решением.

Не нашли ответа?

Если вы не нашли ответа на свой вопрос, или сомневаетесь в его правильности, то можете воспользоваться формой ниже и уточнить решение. Или воспользуйтесь формой поиска и найдите похожие ответы по предмету Математика.