Математика, опубликовано 2018-08-22 23:21:14 by Гость

Помогите с несобственным интегралом!!! Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

Ответ оставил Гость

Чуть накосячили с LaTeXом.
$/int/limits^5_3 { /frac{x}{ /sqrt[4]{ x^2-9}} } /, dx$
Найдем соответствующий неопределенный интеграл:
$J(x) = /int/frac{x}{ /sqrt[4]{ x^2-9}} } /, dx$
Сделаем замену $x = 3cht$ , тогда
$/sqrt[4]{x^2-9} = /sqrt[4]{9ch^2t-9} = /sqrt[4]{9sh^2t} = /sqrt{3sht} // dx = 3sht$ .
Подставим в интеграл:
$J(x) = /int/frac{x}{ /sqrt[4]{ x^2-9}} } /, dx = /int{ /frac{9shtcht}{ /sqrt{3sht}} } /, dt = 3/sqrt{3}/int{cht/sqrt{sht}} /, dt = 3/sqrt{3}/int{/sqrt{sht}} /,d(sht) =$ $3 /sqrt{3} /frac{sh^ /frac{3}{2} t}{ /frac{3}{2} } = 2/sqrt{3}(ch^2t-1)^/frac{3}{4}+C$ .
Делаем обратную замену:
$J(x) = 2/sqrt{3}( /frac{x^2}{9} -1)^/frac{3}{4}+C = /frac{2/sqrt{3}( x^2 -9)^/frac{3}{4}}{9^/frac{3}{4}} + C= /frac{2/sqrt{3}( x^2 -9)^/frac{3}{4}}{3/sqrt{3}} + C =$ $/frac{2}{3} (x^2-9)^ /frac{3}{4} + C$ .
Возьмем значение произвольной постоянной $C = 0$ .
Наконец, воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:
$/int/limits^5_3 { /frac{x}{ /sqrt[4]{ x^2-9}} } /, dx = J(5) - J(3) = /frac{2}{3} * 16^ /frac{3}{4} = /frac{16}{3}$ .

Не нашли ответа?

Если вы не нашли ответа на свой вопрос, или сомневаетесь в его правильности, то можете воспользоваться формой ниже и уточнить решение. Или воспользуйтесь формой поиска и найдите похожие ответы по предмету Математика.