Математика, опубликовано 2018-08-22 23:53:32 by Гость

Найти частное решение линейного диффура второго порядка, которое удовлетворяет заданным начальным условиям. Нужно подробное объяснение. y+2y+y=x²+3x, y(0)=0, y(0)=-1

Ответ оставил Гость

y+2y+y=x²+3x
1) Решаем однородное y+2y+y=0. Для него характеристическое уравнение
β²+2β+1 = 0
(β+1)² = 0
β = -1 - корень кратности 2.
Фундаментальная система решений: $e^{-x},/ xe^{-x}$
Решение $y=c_1e^{-x}+c_2 xe^{-x}=e^{-x}(c_1+xc_2)$
2) Подставим это решение в исходное уравнение. Для этого найдем нужные производные, представив полученное решение как функцию
$y(x)=e^{-x}[c_1(x)+xc_2(x)]$
$y(x)=-e^{-x}[c_1(x)+xc_2(x)]+e^{-x}[c_1(x)+xc_2(x)]= // =-e^{-x}[c_1(x)+xc_2(x)]+e^{-x}[c_1(x)+c_2(x)+xc_2(x)]= // = -c_1(x)e^{-x}-c_2(x)xe^{-x}+c_1(x)e^{-x}+c_2(x)e^{-x}+c_2(x)xe^{-x}= / /textgreater / // =/ /textgreater / c_1(x)e^{-x}+c_2(x)xe^{-x}=0// // y(x)=-c_1(x)e^{-x}-c_2(x)xe^{-x}+c_2(x)e^{-x}$
$y(x)=-c_1(x)e^{-x}+c_1(x)e^{-x}+c_2(x)e^{-x}-c_2(x)e^{-x} -c_2(x)xe^{-x}- // - c_2(x)e^{-x}+c_2(x)xe^{-x} //$
Подставим y, y и y в исходное уравнение:
$-c_1(x)e^{-x}+c_1(x)e^{-x}+c_2(x)e^{-x}-c_2(x)e^{-x} -c_2(x)xe^{-x}- // - c_2(x)e^{-x}+c_2(x)xe^{-x} +2(-c_1(x)e^{-x}-c_2(x)xe^{-x}+c_2(x)e^{-x})+ // +c_1(x)e^{-x}+c_2(x)xe^{-x}=x^2+3x$
Далее всё это упростим:
$-c_1(x)e^{-x}+c_2(x)e^{-x}-c_2(x)xe^{-x}=x^2+3x$
Получим систему уравнений:
$/begin{cases} -c_1(x)e^{-x}+c_2(x)e^{-x}-c_2(x)xe^{-x}=x^2+3x // c_1(x)e^{-x}+c_2(x)xe^{-x}=0 /end{cases}// /begin{cases} c_1(x)+c_2(x)x=0 // -c_1(x)+c_2(x)-c_2(x)x=(x^2+3x)e^x /end{cases}// /begin{cases} c_2(x)=(x^2+3x)e^x // c_1(x)=-(x^2+3x)xe^x /end{cases}$
Находим $c_1$ и $c_2$
$c_1(x)=-/int (x^2+3x)xe^x dx=-/int (x^3+3x^2)d(e^x)= // =-(x^3+3x^2)e^x+/int e^x(3x^2+6x)dx=-(x^3+3x^2)e^x+// +(3x^2+6x)e^x - /int e^x(6x+6)dx=e^x(-x^3+6x)-(6x+6)e^x+//+/int 6e^xdx=(-x^3-6)e^x+6e^x+/tilde{c_1}=-x^3e^x+/tilde{c_1};$
$c_2(x)=/int (x^2+3x)e^x dx=/int (x^2+3x)d(e^x)= // =(x^2+3x)e^x-/int e^x(2x+3)dx=(x^2+3x)e^x-// -(2x+3)e^x + /int 2e^xdx=e^x(x^2+x-1)+/tilde{c_2}.$
Подставим в найденное ранее решение однородного уравнения:
$y=(-x^3e^x+/tilde{c_1})e^{-x}+(e^x(x^2+x-1)+/tilde{c_2})xe^{-x}= // =-x^3+/tilde{c_1}e^{-x}+x^3+x^2-x+/tilde{c_2}xe^{-x}= // =/tilde{c_1}e^{-x}+/tilde{c_2}xe^{-x}+x^2-x.$
Осталось применить y(0)=0, y(0)=-1.
$y(0)=0 =/ /textgreater / /tilde{c_1}=0 =/ /textgreater / y(x)= /tilde{c_2}xe^{-x}+x^2-x // y(x)= /tilde{c_2}e^{-x}-/tilde{c_2}xe^{-x}+2x-1 // y(0)=-1=/ /textgreater / -1=/tilde{c_2}+/tilde{c_2}e-2-1/ =/ /textgreater / /tilde{c_2}= /frac{2}{e+1}$
Собираем окончательное решение:
$y= /frac{2}{e+1} xe^{-x}+x^2-x$

Ответ: $y= /frac{2}{e+1} xe^{-x}+x^2-x$

Не нашли ответа?

Если вы не нашли ответа на свой вопрос, или сомневаетесь в его правильности, то можете воспользоваться формой ниже и уточнить решение. Или воспользуйтесь формой поиска и найдите похожие ответы по предмету Математика.