Найти частное решение линейного диффура второго порядка, которое удовлетворяет заданным начальным условиям. Нужно подробное объяснение. y+2y+y=x²+3x, y(0)=0, y(0)=-1

y+2y+y=x²+3x
1) Решаем однородное y+2y+y=0. Для него характеристическое уравнение
β²+2β+1 = 0
(β+1)² = 0
β = -1 - корень кратности 2.
Фундаментальная система решений: 
Решение 
2) Подставим это решение в исходное уравнение. Для этого найдем нужные производные, представив полученное решение как функцию



Подставим y, y и y в исходное уравнение:

Далее всё это упростим:

Получим систему уравнений:

Находим  и 


Подставим в найденное ранее решение однородного уравнения:

Осталось применить y(0)=0, y(0)=-1.

Собираем окончательное решение:


Ответ: